代码随想录算法训练营三刷day43 | 动态规划之1049. 最后一块石头的重量 II 494. 目标和 474.一和零

1049. 最后一块石头的重量 II

题目链接
解题思路:
本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆,相撞之后剩下的石头最小,这样就化解成01背包问题了。

本题物品的重量为stones[i],物品的价值也为stones[i]

对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]

接下来进行动规五步曲:

确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示容量(这里说容量更形象,其实就是重量)为j的背包,最多可以背最大重量为dp[j]
可以回忆一下01背包中,dp[j]的含义,容量为j的背包,最多可以装的价值为 dp[j]。
相对于 01背包,本题中,石头的重量是 stones[i],石头的价值也是 stones[i] ,可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”

确定递推公式

01背包的递推公式为:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是:dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i],看着有点晕乎。

大家可以再去看 dp[j]的含义。

dp数组如何初始化

既然 dp[j]中的j表示容量,那么最大容量(重量)是多少呢,就是所有石头的重量和。

因为提示中给出1 <= stones.length <= 30,1 <= stones[i] <= 1000,所以最大重量就是30 * 1000 。

而我们要求的target其实只是最大重量的一半,所以dp数组开到15000大小就可以了。

当然也可以把石头遍历一遍,计算出石头总重量 然后除2,得到dp数组的大小。

我这里就直接用15000了。

接下来就是如何初始化dp[j]呢,因为重量都不会是负数,所以dp[j]都初始化为0就可以了,这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

代码为:

vector<int> dp(15001, 0);
确定遍历顺序

在动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组)中就已经说明:如果使用一维dp数组,物品遍历的for循环放在外层,遍历背包的for循环放在内层,且内层for循环倒序遍历!

代码如下:

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
    }
}
举例推导dp数组

举例,输入:[2,4,1,1],此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ,dp数组状态图如下:

1049.最后一块石头的重量II
最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头,一堆石头的总重量是dp[target],另一堆就是sum - dp[target]

在计算target的时候,target = sum / 2 因为是向下取整,所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]

以上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        vector<int> dp(15001, 0);
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

494. 目标和

题目链接
解题思路:
如何转化为01背包问题呢。

假设加法的总和为x,那么减法对应的总和就是sum - x

所以我们要求的是 x - (sum - x) = target

x = (target + sum) / 2

此时问题就转化为,装满容量为x的背包,有几种方法。

这里的x,就是bagSize,也就是我们后面要求的背包容量。

大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了,例如sum 是5,S是2的话其实就是无解的,所以:

(C++代码中,输入的S 就是题目描述的 target)
if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案

同时如果 S的绝对值已经大于sum,那么也是没有方案的。

(C++代码中,输入的S 就是题目描述的 target)
if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案

再回归到01背包问题,为什么是01背包呢?

因为每个物品(题目中的1)只用一次!

这次和之前遇到的背包问题不一样了,之前都是求容量为j的背包,最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

确定dp数组以及下标的含义

dp[j] 表示:填满j(包括j)这么大容积的包,有dp[j]种方法

其实也可以使用二维dp数组来求解本题,dp[i][j]:使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j(包括j)这么大容量的包,有dp[i][j]种方法。

下面我都是统一使用一维数组进行讲解, 二维降为一维(滚动数组),其实就是上一层拷贝下来,这个我在动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组)也有介绍。

确定递推公式

有哪些来源可以推出dp[j]呢?

只要搞到nums[i],凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如:dp[j],j 为5,

已经有一个1(nums[i]) 的话,有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个2(nums[i]) 的话,有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个3(nums[i]) 的话,有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个4(nums[i]) 的话,有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个5 (nums[i])的话,有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包

那么凑整dp[5]有多少方法呢,也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式,都是类似这种:

dp[j] += dp[j - nums[i]]

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到!

dp数组如何初始化

从递推公式可以看出,在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1,因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源,如果dp[0]是0的话,递推结果将都是0。

这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0,也有录友认为dp[0]应该是1。

其实不要硬去解释它的含义,咱就把 dp[0]的情况带入本题看看应该等于多少。

如果数组[0] ,target = 0,那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1, 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法,都是 1 种方法。

所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。

可能有同学想了,那 如果是 数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢。

其实 此时最终的dp[0] = 32,也就是这五个零 子集的所有组合情况,但此dp[0]非彼dp[0],dp[0]能算出32,其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的。

dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0,从递推公式也可以看出,dp[j]要保证是0的初始值,才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。

确定遍历顺序

在动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组)中,我们讲过对于01背包问题一维dp的遍历,nums放在外循环,target在内循环,且内循环倒序。

举例推导dp数组

输入:nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3

bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下:
在这里插入图片描述
C++代码如下:

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (S + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

474.一和零

题目链接
解题思路:
动规五部曲:

确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j]:最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

确定递推公式

dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来,strs里的字符串有zeroNum个0,oneNum个1。

dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1

然后我们在遍历的过程中,取dp[i][j]的最大值。

所以递推公式:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

此时大家可以回想一下01背包的递推公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

对比一下就会发现,字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量(weight[i]),字符串本身的个数相当于物品的价值(value[i])。

这就是一个典型的01背包! 只不过物品的重量有了两个维度而已。

dp数组如何初始化

在动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组)中已经讲解了,01背包的dp数组初始化为0就可以。

因为物品价值不会是负数,初始为0,保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

确定遍历顺序

在动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组)中,我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品,内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历!

那么本题也是,物品就是strs里的字符串,背包容量就是题目描述中的m和n。

代码如下:

for (string str : strs) { // 遍历物品
    int oneNum = 0, zeroNum = 0;
    for (char c : str) {
        if (c == '0') zeroNum++;
        else oneNum++;
    }
    for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历!
        for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
        }
    }
}

有同学可能想,那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究?

没讲究,都是物品重量的一个维度,先遍历哪个都行!

举例推导dp数组

以输入:[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”],m = 3,n = 3为例

最后dp数组的状态如下所示:

474.一和零

以上动规五部曲分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历!
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

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