力扣3067. 在带权树网络中统计可连接服务器对数目

题目:

给你一棵无根带权树,树中总共有 n 个节点,分别表示 n 个服务器,服务器从 0 到 n - 1 编号。同时给你一个数组 edges ,其中 edges[i] = [ai, bi, weighti] 表示节点 ai 和 bi 之间有一条双向边,边的权值为 weighti 。再给你一个整数 signalSpeed 。

如果两个服务器 a ,b 和 c 满足以下条件,那么我们称服务器 a 和 b 是通过服务器 c 可连接的 :

  • a < b ,a != c 且 b != c 。
  • 从 c 到 a 的距离是可以被 signalSpeed 整除的。
  • 从 c 到 b 的距离是可以被 signalSpeed 整除的。
  • 从 c 到 b 的路径与从 c 到 a 的路径没有任何公共边。

请你返回一个长度为 n 的整数数组 count ,其中 count[i] 表示通过服务器 i 可连接 的服务器对的 数目 。

提示:

  • 2 <= n <= 1000
  • edges.length == n - 1
  • edges[i].length == 3
  • 0 <= ai, bi < n
  • edges[i] = [ai, bi, weighti]
  • 1 <= weighti <= 106
  • 1 <= signalSpeed <= 106
  • 输入保证 edges 构成一棵合法的树。

思路:

1. 首先对图建立邻接表graph。

2. “计算每个节点能连接的节点对的数量ans[i]” ----> 轮流将每个节点i设为根节点,计算出其m个子树中可被连接的节点数,记为cnt[0], cnt[1], ..., cnt[m-1],那么可推出公式:

ans[i] = \left ( cnt[0]*cnt[1] \right ) + ... + \left ( cnt[0]*cnt[m-1] + cnt[1]*cnt[m-1] +...+ cnt[m-2]*cnt[m-1] \right ) = \left ( cnt[0]*cnt[1] \right ) + ... + \left ( \sum_{j=0}^{m-2}cnt[j] * cnt[m-1] \right )

即每个括号中的值为:当前子树中可连接的节点数cnt与之前所有子树中可连接的节点数之和s相乘。

代码如下(虽然今天是中等题,但还是想了好久T T):

class Solution:
    def countPairsOfConnectableServers(self, edges: List[List[int]], signalSpeed: int) -> List[int]:
        n = len(edges) + 1   # 节点数
        ans = [0 for _ in range(n)]

        # 图的邻接表
        graph = [[] for _ in range(n)]
        for edge in edges:
            graph[edge[0]].append([edge[1], edge[2]])
            graph[edge[1]].append([edge[0], edge[2]])

        def dfs(parent, node, weight):   
        # 返回这一棵子树中可以被整除的节点数
            if weight % signalSpeed == 0:
                cnt = 1
            else:
                cnt = 0
            for x, w in graph[node]:
                if x != parent:
                    cnt += dfs(node, x, weight+w)
            return cnt

        for i in range(n):
            s = 0
            if len(graph[i]) > 1:    
            # 如果节点i只与1个节点相连,那它一定没有能连接的节点对
                for node, weight in graph[i]:
                    cnt = dfs(i, node, weight)
                    # 当前子树中可连接的节点数cnt与之前所有子树中可连接的节点数s相乘,加至ans[i],并更新s=s+cnt
                    ans[i] += s * cnt
                    s += cnt

        return ans

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