【基础算法】二分

整数二分

算法模板

模板1：区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

模板2：区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

总结：模板 1 找 区间左边界点，模板 2 找 区间右边界点。

例如模板1在上图中找的就是 第一个 3，左端点 ；模板2找的是 最后一个3，右端点 。

模板题 数的范围

题目：
给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。
对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
输入格式：
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 n 个整数（均在 1 ∼ 10000 范围内），表示完整数组。
接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。
输出格式：
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
数据范围：
1 ≤ n ≤ 100000
1 ≤ q ≤ 10000
1 ≤ k ≤ 10000
输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5

想要找到目标值 x 的起始坐标，可理解成找到 ≥x 的最小值，再判断找到的边界值是否与 x 相等，若不相等返回 -1；同样，想要找到目标值 x 的终止坐标，可理解成找到 ≤x 的最大值，再判断找到的边界值是否与 x 相等，若不相等返回 -1；

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);
    while (m -- )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);

        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r)
        {	//找左端点
            int mid = l + r >> 1;
            if (q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        //二分必定会找到答案，但答案可能不符合题意
		//这里二分得出的答案不等于x就是错误的，直接输出-1返回
        if (q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else
        {
            cout << l << ' ';
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r)
            {	//找右端点
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << l << endl;
        }
    }
    return 0;
}

浮点数二分

浮点数二分没有整数，每次区间长度一定可以严格缩小一半，不需要处理边界，一定要时时刻刻保证答案在区间内部，一开始可能在 l ~ r，每次通过中间点判断答案落在哪一半边，只要保证每一次答案落在区间中就可以了，当区间长度很小的时候，就可以认为我们找到了答案
比如当整个浮点数二分区间的长度 r - l 已经 ≤ 10^-6（就可以把它当做一个数了），可以用 l 或者 r 当做答案

算法模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

不用精度来表示迭代，直接循环 100 次（ 相当于把整个区间的长度 / 2^100 ）也可以
循环 n 次，相当于把整个区间的长度 / 2^n

模板题 数的三次方根

给定一个浮点数n，求它的三次方根。
输入格式
共一行，包含一个浮点数n。
输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
注意，结果保留6位小数。
数据范围
−10000≤n≤10000
输入样例：
1000.00
输出样例：
10.000000

经验值：
当结果保留6位小数时，r-l = 1e-8;
当结果保留5位小数时，r-l = 1e-7;
往后多开两位

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    double x;
    cin>>x;
    double l = -10000, r = 10000;
    while(r - l >=1e-8)
    {
        double mid = (l + r )/2;
        if(mid*mid*mid>=x) r = mid;
        else l = mid;
    }
    printf("%lf",l);
    return 0;
}