实变函数精解【6】

点集

基础

  • F ⊂ R n 是闭集, r > 0 ,点集 E = { t ∈ R n :存在 x ∈ F , ∣ t − x ∣ = r } 是闭集 F\subset R^n是闭集,r>0,点集E=\{t \in R^n:存在x \in F,|t-x|=r\}是闭集 FRn是闭集,r>0,点集E={tRn:存在xF,tx=r}是闭集
    证明: t ∈ E , x ∈ F , ∣ t − x ∣ = r , r > 0 F 是闭集, F ′ ⊂ F 1. 如果 x > t = > x = t + r x ∈ F ′ , lim ⁡ k → ∞ ∣ x k − x ∣ = 0 t ∈ E ,存在 E 中的互异点列 { t k } , x k = t k + r lim ⁡ k → ∞ ∣ x k − x ∣ = lim ⁡ k → ∞ ∣ t k + r − ( t + r ) ∣ = 0 = > lim ⁡ k → ∞ ∣ t k − t ∣ = 0 = > t ∈ E ′ = > E ′ ⊂ E 2. 如果 x < t = > x = t − r x ∈ F ′ , lim ⁡ k → ∞ ∣ x k − x ∣ = 0 t ∈ E ,存在 E 中的互异点列 { t k } , x k = t k − r lim ⁡ k → ∞ ∣ x k − x ∣ = lim ⁡ k → ∞ ∣ t k − r − ( t − r ) ∣ = 0 = > lim ⁡ k → ∞ ∣ t k − t ∣ = 0 = > t ∈ E ′ = > E ′ ⊂ E 3. 另一个证法 ∀ δ > 0 , ( B ( x , δ ) \ { x } ) ∩ F ≠ ∅ , ( 1 ) ∀ x ∈ F , t < x , x = t + r , t ∈ E ( B ( t + r , δ ) \ { t + r } ) ∩ F ≠ ∅ = > ( B ( t , δ ) \ { t } ) ∩ E ≠ ∅ ( 2 ) ∀ x ∈ F , t > x , x = t − r , t ∈ E ( B ( t − r , δ ) \ { t − r } ) ∩ F ≠ ∅ = > ( B ( t , δ ) \ { t } ) ∩ E ≠ ∅ 证明:t \in E,x\in F,|t-x|=r,r>0 \\F是闭集,F' \subset F \\1.如果x>t=>x=t+r \\x\in F',\lim_{k\rightarrow\infty}|x_k-x|=0 \\t \in E,存在E中的互异点列\{t_k\},x_k=t_k+r \\\lim_{k\rightarrow \infty}|x_k-x|=\lim_{k\rightarrow \infty}|t_k+r-(t+r)|=0 \\=>\lim_{k\rightarrow\infty}|t_k-t|=0=>t \in E'=>E'\subset E \\2.如果x<t=>x=t-r \\x\in F',\lim_{k\rightarrow\infty}|x_k-x|=0 \\t \in E,存在E中的互异点列\{t_k\},x_k=t_k-r \\\lim_{k\rightarrow \infty}|x_k-x|=\lim_{k\rightarrow \infty}|t_k-r-(t-r)|=0 \\=>\lim_{k\rightarrow\infty}|t_k-t|=0=>t \in E'=>E'\subset E \\3.另一个证法 \\\forall \delta>0,(B(x,\delta)\backslash \{x\} )\cap F \ne \emptyset, \\(1)\forall x\in F ,t<x,x=t+r,t \in E \\(B(t+r,\delta)\backslash \{t+r\})\cap F \ne \emptyset \\=>(B(t,\delta)\backslash \{t\})\cap E \ne \emptyset \\(2)\forall x\in F ,t>x,x=t-r,t \in E \\(B(t-r,\delta)\backslash \{t-r\})\cap F \ne \emptyset \\=>(B(t,\delta)\backslash \{t\})\cap E \ne \emptyset 证明:tE,xF,tx=r,r>0F是闭集,FF1.如果x>t=>x=t+rxF,klimxkx=0tE,存在E中的互异点列{tk},xk=tk+rklimxkx=klimtk+r(t+r)=0=>klimtkt=0=>tE=>EE2.如果x<t=>x=trxF,klimxkx=0tE,存在E中的互异点列{tk},xk=tkrklimxkx=klimtkr(tr)=0=>klimtkt=0=>tE=>EE3.另一个证法δ>0(B(x,δ)\{x})F=,(1)xF,t<x,x=t+r,tE(B(t+r,δ)\{t+r})F==>(B(t,δ)\{t})E=(2)xF,t>x,x=tr,tE(B(tr,δ)\{tr})F==>(B(t,δ)\{t})E=
  • R n 中任一有界无限点集 E 至少有一个极限点 R^n中任一有界无限点集E至少有一个极限点 Rn中任一有界无限点集E至少有一个极限点
  • ( B ( x , δ ) \ { x } ) ∩ E = ∅ = > x 为 E 的孤立点 , x ∈ E \ E ′ (B(x,\delta)\backslash \{x\} )\cap E = \emptyset=>x为E的孤立点,x \in E\backslash E' (B(x,δ)\{x})E==>xE的孤立点,xE\E
  • E ⊂ R 2 , E y = { x ∈ R : ( x , y ) ∈ E } , E y 为 E 在 R 的投影。若 F ⊂ R 2 是闭集,则 F y 也是闭集 E \subset R^2,E_y=\{x\in R:(x,y) \in E\},E_y为E在R的投影。若F\subset R^2是闭集,则F_y也是闭集 ER2,Ey={xR:(x,y)E},EyER的投影。若FR2是闭集,则Fy也是闭集
    证明: 1. E ⊂ R 2 , F ′ ⊂ F , F y = { x ∈ R : ( x , y ) ∈ F } ∀ ( x 0 , y 0 ) ∈ F ′ ⊂ F , x 0 ∈ F y ′ ⊂ F y 证明:1.E\subset R^2,F' \subset F,F_y=\{x\in R:(x,y) \in F\} \\\forall (x_0,y_0)\in F'\subset F,x_0 \in F_y'\subset F_y \\ 证明:1.ER2,FF,Fy={xR:(x,y)F}(x0,y0)FF,x0FyFy

连续点和孤立点

以下内容由文心一言自动生成
连续点和孤立点是描述函数在特定点附近行为的重要概念。下面我们将分别解释这两个概念。

连续点

f ( x ) f(x) f(x) 是定义在区间 I I I 上的函数, x 0 ∈ I x_0 \in I x0I。如果对于任意给定的正数 ε \varepsilon ε,都存在一个正数 δ \delta δ,使得当 x ∈ I x \in I xI ∣ x − x 0 ∣ < δ |x - x_0| < \delta xx0<δ 时,都有 ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ε |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon f(x)f(x0)<ε,则称 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0 处连续, x 0 x_0 x0 f ( x ) f(x) f(x) 的连续点。

简单来说,如果函数在 x 0 x_0 x0 处的极限值等于函数在该点的函数值,并且这个性质在 x 0 x_0 x0 的邻域内都成立(即函数值在该点附近不会突然“跳跃”或“断裂”),则称 x 0 x_0 x0 为连续点。

孤立点

在实变函数或更一般的集合论中,孤立点通常指的是在某个集合中,与集合中其他点都不相邻(即不存在其他点在该点的某个邻域内)的点。但在函数连续性的上下文中,孤立点通常不是直接讨论的对象,因为连续性的定义是全局的(考虑邻域内的所有点),而不是基于单个点的“孤立”性质。

然而,如果我们从函数图像或定义域的角度来考虑,一个函数在其定义域内的某个点 x 0 x_0 x0,如果 x 0 x_0 x0 的邻域内除了 x 0 x_0 x0 本身外没有其他定义点(即 x 0 x_0 x0 是定义域中的一个孤立点),那么讨论 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0 处的连续性就变得有些微妙。在这种情况下,如果 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0 处有定义,我们通常不会说 x 0 x_0 x0 f ( x ) f(x) f(x) 的“孤立点”(在连续性的语境下),因为连续性的定义要求考虑邻域内的点,而孤立点没有这样的邻域点可供比较。

但如果我们是在讨论函数定义域的拓扑性质,那么 x 0 x_0 x0 作为一个孤立点,其本身的连续性(或更准确地说,在该点上的函数值)对整体函数的连续性没有直接影响,因为连续性的定义是基于邻域内点的相互关系的。

总结

  • 连续点:函数在该点处的极限值等于函数值,且该性质在邻域内成立。
  • 孤立点(在函数连续性的语境下):通常不是直接讨论的对象,因为连续性的定义要求考虑邻域内的点。但如果从定义域的拓扑性质来看,孤立点指的是没有邻域点的点,其对函数在该点的连续性没有直接影响。

实变函数中的连续点集

以下内容由文心一言自动生成
在实变函数论中,连续点是指函数在该点处满足连续性定义的点。具体来说,如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续,那么对于任意给定的正数 ε \varepsilon ε,都存在一个正数 δ \delta δ,使得当 x x x满足 ∣ x − x 0 ∣ < δ |x - x_0| < \delta xx0<δ时,都有 ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ε |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon f(x)f(x0)<ε

在实变函数论中,连续点集是一个重要的概念。特别是,对于定义在开集 G ⊂ R n G \subset \mathbb{R}^n GRn上的实值函数 f ( x ) f(x) f(x),其连续点集具有特定的性质。具体来说,有以下结论:

  • 连续点集是Gδ集:如果 f ( x ) f(x) f(x)是定义在开集 G ⊂ R n G \subset \mathbb{R}^n GRn上的实值函数,那么 f ( x ) f(x) f(x)的连续点集是Gδ集。这里,Gδ集是指可数个开集的交集。这个结论可以通过分析函数连续性的定义和开集的性质来证明。

Gδ集的定义与性质

  • 定义:若 E ⊂ R n E \subset \mathbb{R}^n ERn是可数个开集的交集,则称 E E E为Gδ集(或Gδ型集)。
  • 性质
    • Gδ集的补集是Fσ集(可数个闭集的并集)。
    • 在实变函数论中,许多重要的点集都是Gδ集,如连续函数的连续点集、可测集的边界等。

示例与证明

以函数连续点的结构为例,假设 f ( x ) f(x) f(x)是定义在开集 G ⊂ R n G \subset \mathbb{R}^n GRn上的实值函数,我们可以证明其连续点集是Gδ集。具体证明过程如下:

  • ω f ( x ) \omega_f(x) ωf(x) f ( x ) f(x) f(x) x x x点处的振幅,即 ω f ( x ) = lim ⁡ δ → 0 sup ⁡ { ∣ f ( y ) − f ( z ) ∣ : y , z ∈ B ( x , δ ) ∩ G } \omega_f(x) = \lim_{\delta \to 0} \sup\{|f(y) - f(z)|: y, z \in B(x, \delta) \cap G\} ωf(x)=limδ0sup{f(y)f(z):y,zB(x,δ)G}
  • 根据函数连续性的定义, f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0处连续等价于 ω f ( x 0 ) = 0 \omega_f(x_0) = 0 ωf(x0)=0
  • 对于任意正整数 k k k,集合 { x ∈ G : ω f ( x ) < 1 k } \{x \in G: \omega_f(x) < \frac{1}{k}\} {xG:ωf(x)<k1}是开集(因为振幅小于某个正数可以通过限制邻域大小来实现)。
  • 因此, f ( x ) f(x) f(x)的连续点集可以表示为 ⋂ k = 1 ∞ { x ∈ G : ω f ( x ) < 1 k } \bigcap_{k=1}^\infty \{x \in G: \omega_f(x) < \frac{1}{k}\} k=1{xG:ωf(x)<k1},这是一个Gδ集。

结论

在实变函数论中,连续点集是一个重要的研究对象。通过将其与Gδ集联系起来,我们可以利用集合论的方法深入研究函数的连续性质。同时,这也体现了实变函数论作为数学分析深入与推广的学科特点。

闭集,闭套集定理

以下内容由文心一言自动生成
在拓扑学和数学分析中,闭集是一个重要的概念,它与开集相对。闭套集定理(也称为闭包定理或闭集套定理)是闭集性质的一个重要应用。下面我们先介绍闭集的一些基本性质,然后阐述闭套集定理。

闭集的性质

X X X 是一个拓扑空间, A ⊆ X A \subseteq X AX

  1. 定义:如果 X − A X - A XA(即 A A A 的补集)是开集,则称 A A A 是闭集。

  2. 闭集的并:任意多个闭集的并集仍然是闭集。

  3. 闭集的交:有限多个闭集的交集仍然是闭集。但需要注意的是,无限多个闭集的交集不一定是闭集(尽管在大多数常见的拓扑空间中,如欧几里得空间,它是闭集)。

  4. 闭集的闭包:对于任意子集 B ⊆ X B \subseteq X BX,存在包含 B B B 的最小闭集,称为 B B B 的闭包,记作 B ‾ \overline{B} B。闭包具有包含性(即 B ⊆ B ‾ B \subseteq \overline{B} BB)和最小性(即如果 C C C 是包含 B B B 的闭集,则 B ‾ ⊆ C \overline{B} \subseteq C BC)。

  5. 内部与闭包:对于任意子集 B ⊆ X B \subseteq X BX B B B 的内部(记作 B ∘ B^\circ B)是包含 B B B 的最大开集,而 B ‾ \overline{B} B 是包含 B B B 的最小闭集。它们满足 B ∘ ⊆ B ⊆ B ‾ B^\circ \subseteq B \subseteq \overline{B} BBB

闭套集定理(闭集套定理)

定理:设 { F n } \{F_n\} {Fn} X X X 中的一列闭集,且满足 F 1 ⊇ F 2 ⊇ F 3 ⊇ ⋯ F_1 \supseteq F_2 \supseteq F_3 \supseteq \cdots F1F2F3(即每个闭集都包含它的后继闭集)。如果 ⋂ n = 1 ∞ F n ≠ ∅ \bigcap_{n=1}^\infty F_n \neq \emptyset n=1Fn=(即这些闭集的交集非空),则 ⋂ n = 1 ∞ F n \bigcap_{n=1}^\infty F_n n=1Fn 是一个闭集。

注意:实际上,这个定理的“闭集”结论在大多数情况下是显然的,因为任意多个闭集的交集(无论有限还是无限)都是闭集。闭套集定理的真正价值在于它说明了在特定条件下(即闭集套且交集非空),这个交集不仅存在,而且还是一个闭集。

应用:闭套集定理在证明某些极限存在性时非常有用,特别是在分析学中处理序列、函数列或更一般的集合列的极限时。例如,在证明某些类型的函数序列(如单调函数序列)的极限函数存在时,闭套集定理可以提供一个简洁的证明方法。

参考文献

1.文心一言
2.《实变函数论》 周民强
3.《实变解题指南》 周民强

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