高翔【自动驾驶与机器人中的SLAM技术】学习笔记(三)基变换与坐标变换;微分方程;李群和李代数;雅可比矩阵

一、基变换与坐标变换 

字小,事不小。

因为第一反应:坐标咋变,坐标轴就咋变呀。事实却与我们想象的相反。这俩互为逆矩阵。

第一次读没有读明白,后面到事上才明白。

起因是多传感器标定:多传感器,就代表了多个坐标系,多个基底。激光雷达和imu标定。这个标定程序,网上,我搜了一下。

跑测的结果,始终是相反的。跟上面的情况对上了。所以我们必须要弄懂这个互为逆矩阵咋回事。

1、基变换公式:

旧基底:x_1,x_2,...,x_n

新基底:y_1,y_2,...,y_n

新基底下向量用旧基底线性表示:

\left\{\begin{matrix} y_1 = c_{11}x_1 + c_{21}x_2 + ...+ c_{n1}x_n & & & \\ y_2 = c_{12}x_1 + c_{22}x_2 + ...+ c_{n2}x_n & & & \\ ...... & & & \\ y_n = c_{1n}x_1 + c_{2n}x_2 + ...+ c_{nn}x_n \end{matrix}\right.
======>>>>>>>>>简化

\left ( y_1, y_2, ..., y_n \right ) = \left ( x_1, x_2, ..., x_n \right )C

Y = XC

C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n}\\ ...& ... & ... & ...\\ c_{n1} & c_{n2} & ... & c_{nn}\\ \end{bmatrix}

 C为旧基底改变为新基底的过度(变换)矩阵。

2、坐标变换公式:

向量\underset{P}{\rightarrow}在新旧两组基下的坐标表示:

旧基坐标表示:\alpha = \left ( \xi_{1}, \xi_{2}, ..., \xi_{n} \right )^{T}

新基坐标表示:\beta = \left ( \eta_{1}, \eta_{2}, ...., \eta_{n} \right )^{T}

\underset{P}{\rightarrow} =(x_1, x_2, ..., x_n)\alpha = (y_1, y_2,..., y_n)\beta=(x_1, x_2, ..., x_n) C\beta \\ \Rightarrow \alpha = C\beta \\ \Rightarrow\beta = C^{-1}\alpha

结论:互为逆矩阵,也就解释了,为何标定时,求出来的是个相反的值了。





 二、 我那有限的微积分知识呀。

1、李群视角下运动学

我向读到此处的朋友请教,请给我一个指引,我需要看一下哪方面的知识。

我用有限的回忆,理解如下:如有不对,请大家给我指引一下。

{f}'(x) = f(x)\cdot w

一个函数的导数,是它自身乘以一个常数,第一反应:这个函数应该是e^x形式。然后有个系数w,这个函数呼之欲出了。

f(x) = Ce^{wx}

因为只考虑瞬时变化,所以:在t_0时刻附近的形式为:

f(x) = f(t_0)e^{(w(x - t_0))} = f(t_0)exp(w(x-t_0))

换成随时间变换的R(t)形式,并带入泊松方程。

R(t) = R(t_0)exp(w^{\wedge }(t - t_0))

然后联系指数映射形式:将时间差用\Delta t代替,新的李群R(t)是在R(t0)上瞬时扰动产生的,所以有了2.55的公式。

下一步泰勒展开:一阶展开。后面公式通顺了。

关注一下:泊松公式:记忆一下,对李群视角下的运动学公式:

李群(旋转矩阵这个李群)求导之后,是一个自身,乘以一个公式2.52的反对称矩阵,反对称矩阵都可以写成一个向量形式。

所以结论:旋转矩阵这个李群求导之后,就是原矩阵乘以一个向量(这个向量是反对称矩阵转的)

PS:公式中微分结果为

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