OpenCV 图像旋转和平移 数学和代码原理详解

在OpenCV中进行图像旋转涉及到一些基本的几何变换和图像处理操作。

数学原理

在图像旋转中,背后的数学原理主要涉及二维欧几里得空间中的几何变换。具体来说,图像旋转可以通过二维旋转矩阵来实现。

旋转矩阵

对于一个二维平面上的点 (x, y),绕原点逆时针旋转角度 θ 后的新坐标 (x', y') 可以通过以下旋转矩阵计算得到:

在这里插入图片描述

平移和旋转

在实际应用中,图像通常不会绕原点旋转,而是绕图像的某个中心点 (cx, cy) 进行旋转。要实现绕任意点旋转,我们需要先将该点平移到原点,进行旋转,然后再平移回原来的位置。

具体步骤如下:

  1. 平移中心点到原点:将中心点 (cx, cy) 平移到原点 (0, 0)
  2. 旋转:在原点进行旋转。
  3. 平移回原位置:将旋转后的点再平移回 (cx, cy)

合成变换矩阵

综合上述步骤,绕任意点 (cx, cy) 逆时针旋转角度 θ 的变换矩阵可以表示为:

M = T ⋅ R ⋅ T − 1 M = T \cdot R \cdot T^{-1} M=TRT1
其中:

  • ( T ) 是平移矩阵,用于将中心点平移到原点。
  • ( R ) 是旋转矩阵,用于在原点进行旋转。
  • ( T^{-1} ) 是逆平移矩阵,用于将旋转后的点平移回原位置。

具体形式为:

T = [ 1 0 − c x 0 1 − c y 0 0 1 ] T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -cx \\ 0 & 1 & -cy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} T= 100010cxcy1

R = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} R= cosθsinθ0sinθcosθ0001

T − 1 = [ 1 0 c x 0 1 c y 0 0 1 ] T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & cx \\ 0 & 1 & cy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} T1= 100010cxcy1
所以综合后的旋转矩阵 ( M ) 为:

M = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ c x ( 1 − cos ⁡ θ ) + c y sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ c y ( 1 − cos ⁡ θ ) − c x sin ⁡ θ 0 0 1 ] M = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & cx(1-\cos\theta) + cy\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta & cy(1-\cos\theta) - cx\sin\theta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} M= cosθsinθ0sinθcosθ0cx(1cosθ)+cysinθcy(1cosθ)cxsinθ1
由于图像坐标是二维的,我们只需要前三列中的前两行:

M = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ c x ( 1 − cos ⁡ θ ) + c y sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ c y ( 1 − cos ⁡ θ ) − c x sin ⁡ θ ] M = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & cx(1-\cos\theta) + cy\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta & cy(1-\cos\theta) - cx\sin\theta \end{bmatrix} M=[cosθsinθsinθcosθcx(1cosθ)+cysinθcy(1cosθ)cxsinθ]

应用在OpenCV中的实现

在OpenCV中,函数 cv::getRotationMatrix2D 就是用来计算这个旋转矩阵的:

cv::Mat cv::getRotationMatrix2D(cv::Point2f center, double angle, double scale);

center 参数表示旋转中心 (cx, cy)angle 表示旋转角度 θ,scale 表示缩放比例。

然后通过 cv::warpAffine 函数应用这个旋转矩阵来实现图像的旋转:

cv::warpAffine(src, dst, M, cv::Size(width, height));

其中 M 就是通过 getRotationMatrix2D 计算得到的旋转矩阵。

总结一下,图像旋转的数学原理是通过平移和旋转组合的方式,利用二维旋转矩阵实现绕任意点的旋转。OpenCV中提供的函数封装了这些数学计算,使得图像旋转操作变得简单直观。

代码关键点解读

以胖虎为例

在这里插入图片描述

C++代码:

void rotate_demo(Mat &image){
    int width = image.cols;
    int height = image.rows;
    //计算旋转中心坐标
    Point2f center(width/2.0,height/2.0);
    double angle =180;
    Mat rotation_matrix = getRotationMatrix2D(center,angle,1.0);
    Mat rotate_image ;
    warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,Size(width,height));
    imshow("Rotate Image",rotate_image);
}

调用上述代码就会发现一个问题: 图像是旋转了,但是旋转后的图像尺寸不对了, 向右旋转之后,图像宽度不正常。宽度应该是原来的高度,原来的高度应该是宽度才对

在这里插入图片描述

warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,Size(width,height));中尝试调换一下宽度和高度试试。

warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,Size(height,width));

尝试运行之后,发现虽然窗口尺寸对了但是图像右上角都是黑边,原来的图像现了缺失

在这里插入图片描述

出现这个原因是我们一开始是按照中心点进行旋转,并不是从左上角开始旋转的,因此会出现图片缺失问题,因此我们需要把图像再平移回去。平移回去的第一大问题就是旋转之后的图像宽度和高度发生了变化,我们需要重新计算旋转后的图像尺寸

OpenCV提供了计算旋转后的的图像边界尺寸的工具,bbox就是以某个角度旋转之后的矩阵,为什么需要这个函数?举个栗子,旋转九十度,图像的宽度是原来图像的高度,图像的高度是原来的宽度,但如果是旋转45度?旋转后的图像并不是原来图像的高度,需要重新计算。

 Rect bbox = RotatedRect(Point2f(), image.size(), angle).boundingRect();

旋转矩阵 rotation_matrix 是一个 2x3 的矩阵,其形式为:
[ a b t x c d t y ] \begin{bmatrix} a & b & tx \\ c & d & ty \end{bmatrix} [acbdtxty]
其中 txty 是平移部分。

因此我们需要调整tx和ty的值

  • 旋转后的图像尺寸 bbox.size() 的中心点坐标为 (bbox.width / 2.0, bbox.height / 2.0)
  • 原始旋转中心点为 center,坐标为 (center.x, center.y)
  • 调整 txty 的目的是将旋转中心点平移到新图像中心,使图像内容在旋转后居中。

调整后的 txty 计算如下:

  • tx:将图像沿 x 轴平移 bbox.width / 2.0 - center.x
  • ty:将图像沿 y 轴平移 bbox.height / 2.0 - center.y

对应的代码为:

rotation_matrix.at<double>(0, 2) += bbox.width / 2.0 - center.x;
rotation_matrix.at<double>(1, 2) += bbox.height / 2.0 - center.y;

at<double>(0, 2) 访问矩阵中的 tx 值,at<double>(1, 2) 访问矩阵中的 ty 值。

再来运行一下代码,可以看到此时图像就正常了。

在这里插入图片描述

试试45度旋转,修改angle的值为45,效果如下,注意图像的尺寸已经发生了改变,重新计算尺寸后不会造成像素丢失的问题

在这里插入图片描述

完整代码

C++代码:

void rotate_demo(Mat &image){
    int width = image.cols;
    int height = image.rows;
    //计算旋转中心坐标
    Point2f center(width/2.0,height/2.0);
    double angle =45;
    Mat rotation_matrix = getRotationMatrix2D(center,angle,1.0);
    //因为涉及到旋转,图像的高度和宽度其实发生了变化
    // 计算旋转后的图像边界尺寸
    Rect bbox = RotatedRect(Point2f(), image.size(), angle).boundingRect();
    rotation_matrix.at<double>(0, 2) += bbox.width / 2.0 - center.x;
    rotation_matrix.at<double>(1, 2) += bbox.height / 2.0 - center.y;

    Mat rotate_image ;
    warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,bbox.size());
    imshow("Rotate Image",rotate_image);
}

Python代码:

import cv2
import numpy as np

def rotate_demo(image_path, angle=45):
    # 读取图像
    image = cv2.imread(image_path)
    if image is None:
        print("Could not read the image.")
        return

    height, width = image.shape[:2]

    # 计算旋转中心坐标
    center = (width / 2.0, height / 2.0)

    # 计算旋转矩阵
    rotation_matrix = cv2.getRotationMatrix2D(center, angle, 1.0)

    # 计算旋转后的图像边界尺寸
    corners = np.array([
        [0, 0],
        [width, 0],
        [width, height],
        [0, height]
    ])

    corners = np.hstack((corners, np.ones((4, 1))))
    rotated_corners = rotation_matrix.dot(corners.T).T

    x_coords = rotated_corners[:, 0]
    y_coords = rotated_corners[:, 1]

    bbox_width = int(np.ceil(x_coords.max() - x_coords.min()))
    bbox_height = int(np.ceil(y_coords.max() - y_coords.min()))

    # 调整旋转矩阵的平移部分
    rotation_matrix[0, 2] += bbox_width / 2.0 - center[0]
    rotation_matrix[1, 2] += bbox_height / 2.0 - center[1]

    # 执行旋转操作
    rotate_image = cv2.warpAffine(image, rotation_matrix, (bbox_width, bbox_height))

    # 显示旋转后的图像
    cv2.imshow("Rotate Image", rotate_image)
    cv2.waitKey(0)
    cv2.destroyAllWindows()

# 调用旋转函数
rotate_demo("path_to_your_image.jpg", 45)

最近更新

  1. docker php8.1+nginx base 镜像 dockerfile 配置

    2024-07-23 08:02:04       94 阅读
  2. Could not load dynamic library ‘cudart64_100.dll‘

    2024-07-23 08:02:04       102 阅读
  3. 在Django里面运行非项目文件

    2024-07-23 08:02:04       83 阅读
  4. Python语言-面向对象

    2024-07-23 08:02:04       92 阅读

热门阅读

  1. 45、PHP 实现滑动窗口的最大值

    2024-07-23 08:02:04       23 阅读
  2. PHP框架简介

    2024-07-23 08:02:04       20 阅读
  3. Scratch语言详解

    2024-07-23 08:02:04       21 阅读
  4. GCD异步与同步任务执行顺序分析

    2024-07-23 08:02:04       23 阅读
  5. 设计模式-策略模式

    2024-07-23 08:02:04       25 阅读
  6. 深入解析Memcached:C#中的应用与实战案例

    2024-07-23 08:02:04       23 阅读
  7. Python subprocess.call - 将变量添加到 subprocess.call

    2024-07-23 08:02:04       23 阅读
  8. 释放分布式系统潜能:Mojo模型的集成与应用

    2024-07-23 08:02:04       25 阅读