读天才与算法:人脑与AI的数学思维笔记20_数学图灵测试

1. 数学图灵测试

1.1. 能不能将这种计算机证明语言翻译成易于与人交流的方式呢?

1.1.1. 剑桥大学的两位数学家蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers)和莫汉·加内萨林加姆(Mohan Ganesalingam)开展了此项研究

1.1.1.1. 他们决定一起组建团队,创建一个能够生成人类直接能读得懂的计算机证明

1.1.2. 1998年,高尔斯成为菲尔茨奖获得者并登上新闻头条,同年被聘为劳斯·鲍尔(Rouse Ball)讲席教授

1.1.3. 莫汉·加内萨林加姆(Mohan Ganesalingam)

1.1.3.1. 在剑桥大学三一学院学习数学,以第一名的成绩拿到剑桥大学的数学专业学位,并获得资深兰格勒头衔(Senior Wrangler),这是剑桥数学学子的最高荣誉
1.1.3.2. 改行学英语,又以剑桥大学英语学院最佳成绩毕业,获得了盎格鲁–撒克逊英语(Anglo-Saxon English)硕士学位
1.1.3.3. 继续攻读计算机科学博士学位,从形式语言学角度对数学语言进行分析

1.2. 本科一年级《度量空间》课程里面的5个定理,每个定理包括3个不同的证明,分别由博士生、本科生和计算机算法完成

1.2.1. 其目的是想了解在没有任何提示的情况下,是否有人会怀疑这些证明不全是由人类完成的

1.2.2. 通过对投票结果的统计分析,大约有50%的读者识别出了由计算机算法生成的证明,但其中只有半数人确信自己的判断是正确的

1.2.3. 那些确信不是计算机证明而实际是计算机证明的投票占比也不容忽视

1.2.4. 那些来自本科生的证明往往被误认为是计算机的证明

1.3. 计算机在处理证明中那些烦冗、琐碎环节时的能力越来越强,人机互动越来越少,这留给我们更多的时间和精力去自由地思考更“有趣”的环节

1.3.1. 在计算机最终取代人类工作这一历史发展进程中我看不到任何实质性的障碍,这可能会让人感到难过

1.3.2. 但实现这一目标的过程却让人憧憬和兴奋

2. 数学寓言

2.1. 素数又称质数,是一个大于1的自然数,且除了1和它本身外,不能被其他自然数整除

2.2. 素数就像一座座山峰,重峦叠嶂,绵延不绝

2.2.1. 后辈数学家们肩负的任务就是寻找一条从熟知的领域出发,通向这片未知新世界的道路

2.3. 证明是一场“按图索骥”的旅程,地图上标定了穿越的路径

2.3.1. 成功的证明是一组路标,指引所有后辈数学家走完相同的旅程

2.3.2. 证明的读者们将通过地图所指的道路抵达遥不可及的高峰,体会到和作者一样的惊喜和感动

2.3.3. 很多时候,证明不是寻找i和t的交点,就像故事不会呈现某角色的每个生活细节

2.3.3.1. 它是对整个旅程的描述,而不是具体步骤的重现

2.3.4. 数学家提供的论据旨在引导读者的思想。

2.4. 结尾即是故事的开始,倒叙是数学故事最特别的地方

2.4.1. 问题在于故事情节如何设计才能从当前背景到达这一高潮

2.5. 反证法是数学家工具箱中常用的叙事工具,就像《爱丽丝梦游仙境》或《绿野仙踪》一样,想象出一个完全相反的世界,并试图证明这个世界是真实的,直到故事以一个荒谬的结局告终

2.5.1. 任何有限的素数列表都会丢失一些素数,因此,素数的个数必须是无穷的

2.5.2. “素数有无穷多个”定理的证明

2.5.2.1. 假设素数只有有限的n个,其中最大的素数是p
2.5.2.2. 设q为所有素数之积加上1,即q=(2×3×5×…×p)+1,则q不为素数
2.5.2.3. 那么,q就可以被2、3、…p中的某一个数整除
2.5.2.4. 根据公式,q被2、3、…p中任意一个数整除后又会余1,与前结论相互矛盾
2.5.2.5. 由此可证明,素数个数是无限的

2.6. 数学家喜欢在证明的结尾写一个QED的标记,其源自拉丁语quod erat demonstrandum(意为“这被证明了”)的缩写

2.6.1. 数学证明最重要的不是追求“证明完毕”,也不是得到的最终结果,而是整个证明的过程,即通向目的地的旅程,这就像音乐的全部并不是最后的一个和弦一样

2.7. “令人惊讶”是数学的重要特质

2.7.1. 数学家的艺术不只是创造出新的东西,还包括讲述一个令人惊讶的故事

2.7.2. 寻找椭圆曲线的解是数学领域最棘手的问题之一

2.7.2.1. 详细陈述了数学世界的这两个截然不同的领域是如何关联的

2.7.3. 费马发现的关于某些类型的素数具有的一个奇特性质:如果一个素数除以4后所得余数为1,那么该素数等于某两个数字的平方和

2.7.3.1. 素数与平方这两个不相关的概念建立联系、融为一体,获得了巨大的满足感

3. 罗兰·巴特(Roland Barthes)提出的五种关键叙事代码

3.1. 阐释代码

3.1.1. 也称为“谜的代码”,指的是类似于侦探小说中具有设谜和解谜功能的句段

3.1.2. 只要文本中有需要揭示的真相、需要澄清的谜团,那么这个文本就含有阐释代码

3.1.3. “真相的声音”

3.2. 行动代码

3.2.1. 一系列动作的累积制造出悬念,而动作本身又隐含了下一步的叙事动作

3.3. 语义代码

3.4. 符号代码

3.5. 文化代码

3.6. 均围绕一个设计意图展开,即故事中的某些思想会与故事之外的事物产生共鸣,从而赋予其更多的意义

3.6.1. 这三者都是构建数学证明的重要工具,发掘读者已有的知识以获得证明的预期效果

4. 数学的叙述艺术

4.1. “悬念”这一特性是数学证明故事中经典的叙事工具

4.1.1. 这种叙事方法被称为阐释代码,是罗兰·巴特(Roland Barthes)提出的五种关键叙事代码之一

4.2. 是未解之谜(或未答之题)给出令人满意的数学证明的核心方法

4.2.1. 当我们研究数学时,能给我们带来愉悦的就是那种想要解开谜团的渴望

4.2.2. 从这个意义上说,数学证明与一部精彩的侦探小说有很多共同之处

4.3. 数学证明都是从故事的结局开始

4.3.1. 科幻动作或谋杀悬疑题材的作品也有类似的剧情设置

4.4. 除了开场环节通过未解的问题制造的紧张感之外,数学故事的另一个叙事驱动力源自证明展开时的内在行动,它是通过故事情节的延续推动叙事逻辑沿着时间轴向前发展的动力

4.5. 有时候证明需要在大量历史知识或观点的“触发”下推进

4.5.1. 如果利用不好这些触发条件,就会大幅降低证明的效率

4.6. 故事的总体叙事也被称为故事的原型或者主线

4.6.1. 文学理论家们把各种故事原型进行归纳和总结,最终确定了七种不同的叙事类型,比如灰姑娘型故事、探险型故事、战争型故事等

4.7. 数学家识别出某些证明原型,并引用其方法来帮助读者

4.7.1. 证明方法有反证法、归纳法、概率分析法,等等

4.8. 张力本意是让水滴圆润凝聚而不分散的力量

4.8.1. 若某首诗具有张力,说明这首诗全篇对中心观点的凝聚感十分强烈

4.9. 好的数学有一种张力,其证明既不会很复杂也不会很简单

4.9.1. 完美的证明有其必然性,但每一步都无法提前预测

4.9.2. 追求秩序和安全的结果可能导致单调乏味和千篇一律,但为了创新和改变而不顾秩序,则会带来危险和不确定性

4.9.2.1. 文化的历史可以被诠释为在追求秩序和避免乏味之间的动态张力

4.10. 尽管大多数人认为音乐是与数学相关的创造性艺术,但讲故事是最接近证明定理的创造性行为

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