并查集
并查集（Disjoint Set Union，DSU）是一种数据结构，用于管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：合并（Union）和查找（Find）。并查集可以高效地处理动态连通性问题，即判断两个元素是否属于同一个集合，以及合并两个集合。
特点：
1.动态连通性：并查集可以高效地处理动态连通性问题，即判断两个元素是否属于同一个集合。
2.合并操作：并查集支持合并操作，可以将两个集合合并为一个集合。
3.查找操作：并查集支持查找操作，可以快速判断两个元素是否属于同一个集合。
4.路径压缩：为了提高查找操作的效率，通常会使用路径压缩技术，将查找过程中访问过的所有节点直接连接到根节点。
常见用法：
1.网络连接检测：在计算机网络中，用于检测两个节点是否在同一个网络分段中。
2.社交网络分析：用于分析社交网络中的朋友关系，如判断两个人是否是朋友的朋友。
3.图的连通分量：用于找出图中的所有连通分量。
4.最小生成树：在Kruskal算法中，用于快速判断两个顶点是否已经连通。
经典C语言例题：
题目： 使用并查集解决动态连通性问题。
示例代码：
#include <stdio.h>
// 并查集结构体
typedef struct {
int* parent;
int* rank;
int count;
} DisjointSet;
// 创建并查集
DisjointSet* createDisjointSet(int n) {
DisjointSet* ds = (DisjointSet*)malloc(sizeof(DisjointSet));
ds->parent = (int*)malloc(n * sizeof(int));
ds->rank = (int*)calloc(n, sizeof(int));
ds->count = n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
ds->parent[i] = i;
}
return ds;
}
// 查找操作
int find(DisjointSet* ds, int x) {
if (ds->parent[x] != x) {
ds->parent[x] = find(ds, ds->parent[x]); // 路径压缩
}
return ds->parent[x];
}
// 合并操作
void unionSets(DisjointSet* ds, int x, int y) {
int xroot = find(ds, x);
int yroot = find(ds, y);
if (xroot != yroot) {
if (ds->rank[xroot] < ds->rank[yroot]) {
ds->parent[xroot] = yroot;
} else if (ds->rank[xroot] > ds->rank[yroot]) {
ds->parent[yroot] = xroot;
} else {
ds->parent[yroot] = xroot;
ds->rank[xroot]++;
}
ds->count--;
}
}
// 主函数
int main() {
DisjointSet* ds = createDisjointSet(10);
unionSets(ds, 4, 3);
unionSets(ds, 3, 8);
unionSets(ds, 6, 5);
unionSets(ds, 9, 4);
unionSets(ds, 2, 1);
unionSets(ds, 8, 9);
unionSets(ds, 5, 0);
unionSets(ds, 7, 2);
unionSets(ds, 6, 1);
unionSets(ds, 7, 3);
printf("Number of disjoint sets: %d\n", ds->count);
return 0;
}
例题分析：
1.创建并查集：createDisjointSet函数创建一个并查集结构体，包括父数组、秩数组和集合数量。
2.查找操作：find函数用于查找元素的根节点，同时使用路径压缩技术，将查找过程中访问过的所有节点直接连接到根节点。
3.合并操作：unionSets函数用于合并两个集合，如果两个元素的根节点不同，则将它们合并为一个集合，并更新秩数组。
4.主函数：在main函数中，创建了一个并查集，并执行了一系列合并操作。最后，打印出并查集中集合的数量。
这个例题展示了如何在C语言中使用并查集解决动态连通性问题。通过这个例子，可以更好地理解并查集在动态连通性问题中的应用，以及如何使用并查集来高效地处理集合的合并和查找操作。并查集通过路径压缩和秩优化，使得查找和合并操作的时间复杂度接近于常数时间，是一种非常高效的动态连通性数据结构。
线段树
线段树（Segment Tree）是一种二叉树结构，用于高效地解决区间查询和区间更新问题。线段树将一个区间分成若干个线段，并将这些线段存储在树中，使得可以快速地查询和更新区间的信息。
特点：
1.区间查询：线段树可以快速查询任意区间的信息，如区间和、区间最大值、区间最小值等。
2.区间更新：线段树可以快速更新区间的信息，如将区间内的值全部增加某个数。
3.动态数据结构：线段树是一个动态数据结构，可以动态地插入和删除元素。
4.空间复杂度：线段树的空间复杂度为O(n)，其中n是区间内元素的数量。
常见用法：
1.区间求和：在线段树中存储区间内元素的和，可以快速求出任意区间的和。
2.区间最大值/最小值：在线段树中存储区间内元素的最大值或最小值，可以快速求出任意区间的最大值或最小值。
3.区间更新：在线段树中存储区间内元素的其他信息，可以快速更新区间的信息。
4.动态数据处理：在线段树中动态地插入和删除元素，可以处理动态数据。
经典C语言例题：
题目： 使用线段树解决区间求和问题。
示例代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
// 定义线段树节点结构体
typedef struct Node {
int start, end;
int sum;
struct Node* left;
struct Node* right;
} Node;
// 创建线段树节点
Node* createNode(int start, int end) {
Node* newNode = (Node*)malloc(sizeof(Node));
newNode->start = start;
newNode->end = end;
newNode->sum = 0;
newNode->left = NULL;
newNode->right = NULL;
return newNode;
}
// 构建线段树
Node* buildTree(int arr[], int start, int end) {
Node* node = createNode(start, end);
if (start == end) {
node->sum = arr[start];
return node;
}
int mid = (start + end) / 2;
node->left = buildTree(arr, start, mid);
node->right = buildTree(arr, mid + 1, end);
node->sum = node->left->sum + node->right->sum;
return node;
}
// 查询区间和
int query(Node* node, int start, int end) {
if (node->start == start && node->end == end) {
return node->sum;
}
int mid = (node->start + node->end) / 2;
if (end <= mid) {
return query(node->left, start, end);
} else if (start > mid) {
return query(node->right, start, end);
} else {
return query(node->left, start, mid) + query(node->right, mid + 1, end);
}
}
// 更新区间和
void update(Node* node, int start, int end, int value) {
if (node->start == start && node->end == end) {
node->sum = value;
return;
}
int mid = (node->start + node->end) / 2;
if (end <= mid) {
update(node->left, start, end, value);
} else if (start > mid) {
update(node->right, start, end, value);
} else {
update(node->left, start, mid, value);
update(node->right, mid + 1, end, value);
}
node->sum = node->left->sum + node->right->sum;
}
// 主函数
int main() {
int arr[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
Node* root = buildTree(arr, 0, n - 1);
printf("Sum of elements from index 1 to 3 is: %d\n", query(root, 1, 3));
update(root, 1, 3, 10);
printf("Sum of elements from index 1 to 3 after update is: %d\n", query(root, 1, 3));
return 0;
}
}
例题分析：
1.创建线段树节点：createNode函数创建一个线段树节点，并初始化区间和子节点指针。
2.构建线段树：buildTree函数递归地构建线段树，将区间分为左右子区间，并计算区间和。
3.查询区间和：query函数递归地查询线段树中指定区间的和。
4.更新区间和：update函数递归地更新线段树中指定区间的和，并更新父节点的区间和。
5.主函数：在main函数中，定义了一个数组arr，构建了一个线段树，并查询和更新了指定区间的和。
这个例题展示了如何在C语言中使用线段树解决区间求和问题。通过这个例子，可以更好地理解线段树在区间查询和更新问题中的应用，以及如何使用线段树来高效地处理区间信息。线段树通过将区间分成若干个线段，并将这些线段存储在树中，使得可以快速地查询和更新区间的信息，是一种非常高效的区间数据结构。
