矩阵空间&秩1矩阵&小世界图

1. 矩阵空间

我们以3X3的矩阵空间 M 为例来说明相关情况。目前矩阵空间M中只关心两类计算,矩阵加法和矩阵数乘。

  • 对称矩阵-子空间-有6个3X3的对称矩阵,所以为6维矩阵空间
  • 上三角矩阵-子空间-有6个3X3的上三角矩阵,所以为6维矩阵空间
    矩阵M的基础基有9个,表示如下
    [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ; [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] ; [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] ; [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ] ; (1) \begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&0&0\\\\0&0&0\\\\\end{bmatrix};\begin{bmatrix}0&1&0\\\\0&0&0\\\\0&0&0\\\\\end{bmatrix};\begin{bmatrix}0&0&1\\\\0&0&0\\\\0&0&0\\\\\end{bmatrix};\begin{bmatrix}0&0&0\\\\1&0&0\\\\0&0&0\\\\\end{bmatrix};\tag{1} 100000000 ; 000100000 ; 000000100 ; 010000000 ;(1)
    [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] ; [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] ; [ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ] ; [ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ] ; [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] ; (2) \begin{bmatrix}0&0&0\\\\0&1&0\\\\0&0&0\\\\\end{bmatrix};\begin{bmatrix}0&0&0\\\\0&0&1\\\\0&0&0\\\\\end{bmatrix};\begin{bmatrix}0&0&0\\\\0&0&0\\\\1&0&0\\\\\end{bmatrix};\begin{bmatrix}0&0&0\\\\0&0&0\\\\0&1&0\\\\\end{bmatrix};\begin{bmatrix}0&0&0\\\\0&0&0\\\\0&0&1\\\\\end{bmatrix};\tag{2} 000010000 ; 000000010 ; 001000000 ; 000001000 ; 000000001 ;(2)

2. 微分方程

  • 假设我们有如下微分方程:
    d 2 y d x 2 + y = 0 (3) \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+y=0\tag{3} dx2d2y+y=0(3)
  • 零空间解表示如下:
    y 1 = sin ⁡ ( x ) ; y 2 = cos ⁡ ( x ) (4) y_1=\sin(x);y_2=\cos(x)\tag{4} y1=sin(x);y2=cos(x)(4)
  • 通解表示如下:
    y = c 1 sin ⁡ ( x ) + c 2 cos ⁡ ( x ) (5) y=c_1\sin(x)+c_2\cos(x)\tag{5} y=c1sin(x)+c2cos(x)(5)
    以上可以用 sin ⁡ ( x ) \sin(x) sin(x) cos ⁡ ( x ) \cos(x) cos(x)当做解来表示解空间,所以微分方程的解空间为2.

3. 秩为1的矩阵

假设我们有一个秩为1的矩阵A ,表示如下:
A = [ 1 4 5 2 8 10 ] = [ 1 2 ] 2 × 1 [ 1 4 5 ] 1 × 3 (6) A=\begin{bmatrix}1&4&5\\\\2&8&10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\\\2\end{bmatrix}_{2\times1}\begin{bmatrix}1&4&5\end{bmatrix}_{1\times3}\tag{6} A= 1248510 = 12 2×1[145]1×3(6)

  • 所有的秩为1的矩阵均可以分解为列向量乘以行向量。
  • 小结:
    我们可以通过组合秩为1的矩阵来构造我们想要的秩的矩阵。

4. 图

我们知道一个图可以有节点和边组成
G r a p h = [ n o d e s , e d g e s ] (7) Graph=[nodes,edges]\tag{7} Graph=[nodes,edges](7)
在这里插入图片描述

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