参数式确定的函数的导数公式及其推导过程

参数式确定的函数是指通过参数 t t t 来表示的函数,通常形式为 x = f ( t ) x = f(t) x=f(t) y = g ( t ) y = g(t) y=g(t),其中 t t t 是参数。在这种形式下,函数 y y y x x x 的导数可以通过链式法则来求得。


参数式函数的导数公式

假设 x = f ( t ) x = f(t) x=f(t) y = g ( t ) y = g(t) y=g(t) 是两个可微函数,并且 $ f(t) $ 是严格单调的(即 f ′ ( t ) ≠ 0 f'(t) \neq 0 f(t)=0),那么 y y y x x x 的导数 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy 可以通过以下公式求得:

d y d x = d y d t d x d t = g ′ ( t ) f ′ ( t ) \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)} dxdy=dtdxdtdy=f(t)g(t)


推导过程

  1. 链式法则:根据链式法则, y y y x x x 的导数可以表示为 y y y t t t 的导数与 x x x t t t 的导数的比值:

    d y d x = d y / d t d x / d t \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} dxdy=dx/dtdy/dt

  2. 具体表达式:将 y = g ( t ) y = g(t) y=g(t) x = f ( t ) x = f(t) x=f(t) 代入上式,得到:

    d y d x = g ′ ( t ) f ′ ( t ) \frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)} dxdy=f(t)g(t)


例子

考虑一个具体的例子,假设参数式函数为:

x = cos ⁡ t x = \cos t x=cost
y = sin ⁡ t y = \sin t y=sint

我们要求 y y y x x x 的导数。

  1. 求导数:首先求 x x x y y y t t t 的导数:

    d x d t = − sin ⁡ t \frac{dx}{dt} = -\sin t dtdx=sint
    d y d t = cos ⁡ t \frac{dy}{dt} = \cos t dtdy=cost

  2. 应用公式:将这些导数代入参数式函数的导数公式:

    d y d x = cos ⁡ t − sin ⁡ t = − cot ⁡ t \frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t dxdy=sintcost=cott


注意事项

  • 在应用参数式函数的导数公式时,必须确保 f ′ ( t ) ≠ 0 f'(t) \neq 0 f(t)=0,否则分母为零,导数不存在。
  • 参数 t t t 的范围通常需要根据具体问题来确定,以确保 x x x y y y 的值在合理的范围内。

高阶导数

对于高阶导数,可以通过重复应用上述公式来求得。例如,二阶导数 d 2 y d x 2 \frac{d^{2y}}{dx^2} dx2d2y 可以通过以下步骤求得:

  1. 求一阶导数:首先求 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy

    d y d x = g ′ ( t ) f ′ ( t ) \frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)} dxdy=f(t)g(t)

  2. 求二阶导数:然后对 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy 再求导,注意此时 x x x t t t 的导数 f ′ ( t ) f'(t) f(t) 也参与其中:

    d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) = d d t ( g ′ ( t ) f ′ ( t ) ) ⋅ d t d x \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{g'(t)}{f'(t)} \right) \cdot \frac{dt}{dx} dx2d2y=dxd(dxdy)=dtd(f(t)g(t))dxdt

    其中 d t d x = 1 d x d t = 1 f ′ ( t ) \frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}} = \frac{1}{f'(t)} dxdt=dtdx1=f(t)1 所以:

    d 2 y d x 2 = d d t ( g ′ ( t ) f ′ ( t ) ) ⋅ 1 f ′ ( t ) \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{g'(t)}{f'(t)} \right) \cdot \frac{1}{f'(t)} dx2d2y=dtd(f(t)g(t))f(t)1

    进一步展开:

    d 2 y d x 2 = f ′ ( t ) g ′ ′ ( t ) − g ′ ( t ) f ′ ′ ( t ) ( f ′ ( t ) ) 3 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{f'(t) g''(t) - g'(t) f''(t)}{(f'(t))^3} dx2d2y=(f(t))3f(t)g′′(t)g(t)f′′(t)


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